Chapter 01

라플라스 변환

미분이 곱셈이 되고, 적분이 나눗셈이 되는 세계가 있다. 라플라스 변환은 시간 \(t\)의 함수를 복소수 \(s\)의 함수로 옮겨, 골치 아픈 미분방정식을 고등학교 대수 문제로 바꿔 준다. 회로·제어·신호처리·기계진동에서 공학자가 매일 쓰는 언어인 전달함수와 극점도 모두 여기서 나온다.

왜 변환하는가: s-영역으로 돌아가는 지름길

로그를 생각해 보자. 큰 수의 곱셈 \(a \times b\)는 어렵지만 \(\log a + \log b\)는 쉽다. 그래서 예전 공학자들은 로그표로 수를 옮기고, 덧셈을 하고, 다시 역로그로 돌아왔다. 라플라스 변환(Laplace transform)은 같은 전략을 함수에 적용한다. 시간 영역의 미분은 s-영역에서 \(s\)를 곱하는 것으로 바뀐다. 그러면 선형 상미분방정식은 \(Y(s)\)에 대한 일차 방정식이 된다.

시간 영역 (t) s-영역 (복소 주파수) 미분방정식 y″ + 3y′ + 2y = 2 해 y(t) 1 + 2e⁻ᵗ − e⁻²ᵗ 직접 풀기: 특성방정식 + 특수해 + 초기조건 대수방정식 (s²+3s+2)Y = … Y(s) 구하기 나눗셈 · 부분분수 변환표 찾기 1/(s+a) ↔ e⁻ᵃᵗ ℒ ℒ⁻¹
그림 1-1. 위쪽 길(점선)은 시간 영역에서 직접 푸는 방법, 아래쪽 길은 s-영역으로 우회하는 방법이다. 우회로는 초기 조건이 처음부터 식에 자동으로 들어가고, 계산이 전부 대수다.

이 장의 목표는 위 그림의 아래쪽 길을 막힘없이 걷는 것이다. 그 길 위에서 우리는 덤으로 전달함수(transfer function)와 극점(pole)이라는 강력한 도구를 얻게 된다. 시스템의 성격이 s-평면 위 몇 개의 점으로 요약된다.

정의와 수렴 영역

\(t \ge 0\)에서 정의된 함수 \(f(t)\)의 (단측) 라플라스 변환은 다음과 같다.

$$F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_{0^-}^{\infty} f(t)\, e^{-st}\, dt, \qquad s = \sigma + j\omega$$
여기서 \(s\)는 복소수다. 실수부 \(\sigma\)는 감쇠율, 허수부 \(\omega\)는 각주파수를 뜻한다. 적분 하한을 \(0^-\)로 두면 \(t=0\)의 임펄스 \(\delta(t)\)까지 포함된다.

직관적으로 \(e^{-st} = e^{-\sigma t}e^{-j\omega t}\)는 "감쇠하면서 회전하는" 시험 신호다. 변환은 \(f(t)\)가 각 \((\sigma,\omega)\) 조합의 시험 신호와 얼마나 닮았는지를 재는 내적이다. \(e^{-\sigma t}\)가 \(f\)의 증가를 눌러 주기 때문에 푸리에 변환으로는 다룰 수 없는 \(e^{2t}\) 같은 함수도 변환할 수 있다. 단, \(\sigma\)가 충분히 클 때만.

가장 중요한 예: 지수함수

$$\mathcal{L}\{e^{at}\} = \int_0^\infty e^{-(s-a)t}\,dt = \left[\frac{-e^{-(s-a)t}}{s-a}\right]_0^\infty = \frac{1}{s-a}, \qquad \mathrm{Re}(s) > a$$
\(\mathrm{Re}(s) \le a\)이면 \(e^{-(s-a)t}\)가 줄지 않아 적분이 발산한다. 적분이 수렴하는 \(s\)의 집합 \(\{\mathrm{Re}(s) > a\}\)를 수렴 영역(ROC, Region of Convergence)이라 한다.

\(a = 0\)이면 단위 계단 \(u(t)\)의 변환 \(1/s\)이 되고, \(a = j\omega\)로 두고 실수부·허수부를 나누면 \(\cos\omega t\), \(\sin\omega t\)의 변환이 한꺼번에 나온다. 이 한 줄이 변환표의 절반을 만든다.

SIMULATOR

적분이 수렴하는 순간 — eat의 변환

피적분함수 f(t)e−stf(t) = eat누적 적분 ∫₀ᵀ
s − a—
∫₀¹⁰ f e−st dt—
F(s) = 1/(s−a)—
판정—
해볼 것: s를 a 쪽으로 천천히 내려 보자. s − a가 작아질수록 피적분함수의 꼬리가 길어지고 누적 적분(아래 그래프)이 1/(s−a)에 늦게 도달한다. s ≤ a가 되는 순간 꼬리가 줄지 않아 적분은 끝없이 커진다. 이것이 ROC의 경계다.
존재 조건 \(f\)가 구간별 연속이고 어떤 상수 \(M, \alpha\)에 대해 \(|f(t)| \le M e^{\alpha t}\)이면(지수 차수(exponential order)) \(\mathrm{Re}(s) > \alpha\)에서 변환이 존재한다. 공학에서 만나는 거의 모든 신호가 여기에 해당한다. 반례는 \(e^{t^2}\)처럼 어떤 지수보다도 빨리 자라는 함수다.

기본 변환표

실전에서는 매번 적분하지 않는다. 아래 표와 다음 절의 성질을 조합하면 대부분의 문제가 풀린다. 모든 \(f(t)\)는 \(t \ge 0\)에서만 정의된 것으로 본다(즉 \(u(t)\)가 곱해져 있다).

\(f(t)\)\(F(s)\)ROC비고
\(\delta(t)\)\(1\)모든 \(s\)임펄스: 모든 주파수를 고르게 포함
\(u(t)\)\(\dfrac{1}{s}\)\(\sigma > 0\)단위 계단
\(t^n\)\(\dfrac{n!}{s^{n+1}}\)\(\sigma > 0\)램프 \(t \to 1/s^2\)
\(e^{at}\)\(\dfrac{1}{s-a}\)\(\sigma > a\)극점 \(s = a\)
\(t^n e^{at}\)\(\dfrac{n!}{(s-a)^{n+1}}\)\(\sigma > a\)중근 극점
\(\sin \omega t\)\(\dfrac{\omega}{s^2+\omega^2}\)\(\sigma > 0\)극점 \(\pm j\omega\)
\(\cos \omega t\)\(\dfrac{s}{s^2+\omega^2}\)\(\sigma > 0\)극점 \(\pm j\omega\), 영점 0
\(e^{at}\sin \omega t\)\(\dfrac{\omega}{(s-a)^2+\omega^2}\)\(\sigma > a\)감쇠 진동
\(e^{at}\cos \omega t\)\(\dfrac{s-a}{(s-a)^2+\omega^2}\)\(\sigma > a\)감쇠 진동
\(u(t-\tau)\)\(\dfrac{e^{-\tau s}}{s}\)\(\sigma > 0\)지연된 계단
오일러 공식 하나로 sin·cos 유도 \(\mathcal{L}\{e^{j\omega t}\} = \dfrac{1}{s - j\omega} = \dfrac{s + j\omega}{s^2 + \omega^2}\). 변환은 선형이므로 실수부가 \(\mathcal{L}\{\cos\omega t\} = s/(s^2+\omega^2)\), 허수부가 \(\mathcal{L}\{\sin\omega t\} = \omega/(s^2+\omega^2)\)이다.

핵심 성질: 미분은 곱셈이 된다

라플라스 변환이 강력한 이유는 표보다 성질에 있다. 가장 중요한 미분 성질은 부분적분 한 번으로 유도된다.

$$\mathcal{L}\{f'(t)\} = \int_0^\infty f'(t)e^{-st}dt = \Big[f(t)e^{-st}\Big]_0^\infty + s\int_0^\infty f(t)e^{-st}dt = sF(s) - f(0)$$
ROC 안에서는 \(f(t)e^{-st} \to 0\)이므로 경계항은 \(-f(0)\)만 남는다. 초기 조건이 변환 안에 자동으로 들어간다는 점이 핵심이다. 한 번 더 적용하면 \(\mathcal{L}\{f''\} = s^2F(s) - sf(0) - f'(0)\).
성질시간 영역s-영역
선형성\(af(t) + bg(t)\)\(aF(s) + bG(s)\)
미분\(f'(t)\)\(sF(s) - f(0^-)\)
2계 미분\(f''(t)\)\(s^2F(s) - sf(0^-) - f'(0^-)\)
적분\(\int_0^t f(\tau)d\tau\)\(\dfrac{F(s)}{s}\)
s-이동 (지수 곱)\(e^{at}f(t)\)\(F(s-a)\)
t-이동 (지연)\(f(t-\tau)u(t-\tau)\)\(e^{-\tau s}F(s)\)
t 곱\(t f(t)\)\(-F'(s)\)
시간 스케일\(f(at),\ a>0\)\(\dfrac{1}{a}F\!\left(\dfrac{s}{a}\right)\)
합성곱\((f*g)(t) = \int_0^t f(\tau)g(t-\tau)d\tau\)\(F(s)G(s)\)

두 개의 이동 성질은 서로 거울상이다. 시간 영역에서 지수를 곱하면 s-영역에서 이동하고, 시간 영역에서 이동하면 s-영역에서 지수를 곱한다. 예를 들어 \(\mathcal{L}\{t\} = 1/s^2\)에 s-이동을 적용하면 바로 \(\mathcal{L}\{te^{-3t}\} = 1/(s+3)^2\)이다.

초기값 정리와 최종값 정리

역변환 없이도 \(F(s)\)에서 시간 응답의 시작과 끝을 바로 읽을 수 있다.

$$f(0^+) = \lim_{s\to\infty} sF(s), \qquad \lim_{t\to\infty} f(t) = \lim_{s\to 0} sF(s)$$
최종값 정리는 \(sF(s)\)의 모든 극점이 왼쪽 반평면(\(\sigma \lt 0\))에 있을 때만 쓸 수 있다. \(\sin t\)의 변환에 그냥 대입하면 \(\lim_{s\to0} s\cdot\frac{1}{s^2+1} = 0\)이 나오지만, \(\sin t\)는 0으로 수렴하지 않는다. 극점 \(\pm j\)가 허수축 위에 있기 때문이다.
흔한 실수 \(\mathcal{L}\{f(t)g(t)\} \ne F(s)G(s)\)다. 곱이 곱으로 가는 것은 합성곱뿐이다. 또 \(\mathcal{L}\{f(t-\tau)\}\)를 쓸 때 \(u(t-\tau)\)를 빼먹으면 \(t \lt \tau\) 구간의 값이 섞여 틀린 답이 나온다.

역변환과 부분분수

역변환은 원래 복소 적분(브롬위치 적분)으로 정의되지만, 공학에서 만나는 \(F(s)\)는 대부분 유리함수(rational function) \(N(s)/D(s)\)다. 이때는 부분분수 분해(partial fraction expansion)로 표에 있는 간단한 항들의 합으로 쪼갠 뒤 하나씩 되돌리면 된다.

$$F(s) = \frac{N(s)}{(s-p_1)(s-p_2)\cdots(s-p_n)} = \sum_{k=1}^{n}\frac{A_k}{s-p_k} \;\;\Longrightarrow\;\; f(t) = \sum_{k=1}^{n} A_k e^{p_k t}$$
극점이 모두 단순근일 때 계수는 가림법(Heaviside cover-up)으로 구한다: \(A_k = \big[(s-p_k)F(s)\big]_{s=p_k}\). 분자 차수가 분모 이상이면 먼저 다항식 나눗셈을 한다.

이 식이 말해 주는 사실은 매우 중요하다. 시간 응답은 극점마다 하나씩 붙는 지수함수 \(e^{p_k t}\)의 합이다. 극점의 위치가 곧 응답의 모양을 결정한다. 계수 \(A_k\)는 각 모드가 얼마나 섞이는지만 정한다.

예제: 초기 조건이 있는 2계 미분방정식

\(y'' + 3y' + 2y = 2u(t)\), \(y(0) = 2\), \(y'(0) = 0\)을 풀어 보자.

  1. 양변을 변환한다. 미분 성질에 초기 조건이 그대로 들어간다. $$\big[s^2Y - 2s - 0\big] + 3\big[sY - 2\big] + 2Y = \frac{2}{s}$$
  2. \(Y\)에 대해 정리한다. 이제 그냥 일차 방정식이다. $$(s^2+3s+2)\,Y = \frac{2}{s} + 2s + 6 \;\;\Rightarrow\;\; Y(s) = \frac{2s^2 + 6s + 2}{s(s+1)(s+2)}$$
  3. 가림법으로 부분분수 계수를 구한다. $$A = \left.\frac{2s^2+6s+2}{(s+1)(s+2)}\right|_{s=0} = 1,\quad B = \left.\frac{2s^2+6s+2}{s(s+2)}\right|_{s=-1} = 2,\quad C = \left.\frac{2s^2+6s+2}{s(s+1)}\right|_{s=-2} = -1$$
  4. 표를 보고 되돌린다. $$Y(s) = \frac{1}{s} + \frac{2}{s+1} - \frac{1}{s+2} \;\;\Longrightarrow\;\; y(t) = 1 + 2e^{-t} - e^{-2t}, \quad t \ge 0$$
검산은 정리 두 개로 초기값: \(\lim_{s\to\infty} sY(s) = 2\) ✓ (\(y(0)=2\)). 최종값: \(\lim_{s\to 0} sY(s) = 2/2 = 1\) ✓. 실제로 \(y(\infty) = 1\)이고, 이는 정상상태에서 \(2y = 2\)라는 사실과도 맞는다. 극점 \(-1, -2\)가 모두 왼쪽 반평면에 있으므로 최종값 정리를 쓸 수 있다.

s-평면: 극점이 응답을 결정한다

앞 절의 결론을 그림으로 옮기면 공학에서 가장 많이 쓰이는 지도 하나가 나온다. 극점 \(p = \sigma + j\omega\)는 시간 영역에서 \(e^{pt} = e^{\sigma t}e^{j\omega t}\)이므로, 실수부 \(\sigma\)는 얼마나 빨리 줄거나 커지는지, 허수부 \(\omega\)는 얼마나 빨리 진동하는지를 정한다. 실수 신호에서 복소 극점은 항상 켤레 쌍 \(\sigma \pm j\omega\)로 나타나 \(e^{\sigma t}\cos(\omega t + \phi)\)를 만든다.

σ jω 안정 (왼쪽 반평면) 불안정 × × × × × × × × × × × ×
그림 1-2. s-평면 위 극점(×)의 위치와 그에 해당하는 시간 응답. 왼쪽으로 갈수록 빨리 감쇠하고, 위로 갈수록 빨리 진동한다. 허수축 위의 극점은 크기가 일정한 진동(또는 상수), 오른쪽 반평면의 극점은 발산을 만든다. 아래 반평면의 흐린 ×는 켤레 극점이다.
SIMULATOR

극점을 끌어서 응답 바꾸기

응답 형태
극점—
포락선 시간상수 1/|σ|—
진동 주기 2π/ω—
안정성—
해볼 것: 왼쪽 s-평면을 클릭하거나 드래그해 극점을 옮겨 보자. ① 허수축 위(σ = 0)에 올리면 영원히 같은 크기로 진동한다. ② ω를 0으로 내리면 진동이 사라지고 순수한 지수 감쇠가 된다. ③ 오른쪽 반평면으로 넘기는 순간 응답이 폭주한다. 점선은 포락선 ±eσt다.

이 관찰을 일반화한 것이 BIBO 안정성(Bounded-Input Bounded-Output stability) 판정이다. 선형 시불변 시스템은 모든 극점이 왼쪽 반평면에 있을 때, 그리고 그때에만 안정하다. 극점이 허수축 위에 단순근으로 있으면 응답이 발산하지는 않지만 그 주파수의 입력에 공진해 출력이 무한히 커질 수 있으므로 임계 안정이라 부른다.

전달함수와 2차계

초기 조건을 모두 0으로 두면 출력의 변환은 입력의 변환에 어떤 함수 \(H(s)\)를 곱한 것이 된다. 이 \(H(s)\)가 전달함수다. 합성곱 성질에 따르면 \(H(s)\)는 임펄스 응답 \(h(t)\)의 라플라스 변환이기도 하다.

$$Y(s) = H(s)\,X(s), \qquad y(t) = (h * x)(t), \qquad H(s) = \mathcal{L}\{h(t)\}$$

공학에서 가장 자주 만나는 모델은 질량–스프링–댐퍼, RLC 회로, 서보 모터가 모두 공유하는 2차계다. 표준형으로 쓰면 두 개의 숫자 \(\zeta\)와 \(\omega_n\)만으로 성격이 완전히 정해진다.

$$H(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2}, \qquad p_{1,2} = -\zeta\omega_n \pm j\,\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$$
\(\omega_n\): 고유진동수(natural frequency), \(\zeta\): 감쇠비(damping ratio). \(\zeta \lt 1\)이면 부족감쇠(진동), \(\zeta = 1\)이면 임계감쇠, \(\zeta > 1\)이면 과감쇠(두 실수 극점). 부족감쇠에서 극점은 원점으로부터 거리 \(\omega_n\)인 원 위에 있고, 음의 실수축과 이루는 각 \(\theta\)는 \(\cos\theta = \zeta\)를 만족한다.

단위 계단 입력 \(X(s) = 1/s\)에 대한 응답에서 설계자가 보는 지표는 다음과 같다(부족감쇠, \(0 \lt \zeta \lt 1\)).

$$M_p = e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}, \qquad t_p = \frac{\pi}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}}, \qquad t_s^{(2\%)} \approx \frac{4}{\zeta\omega_n}$$
\(M_p\): 최대 오버슈트 비율, \(t_p\): 피크 시간, \(t_s\): 응답이 최종값의 ±2 % 안에 머무르기 시작하는 정착시간(포락선 근사). 오버슈트는 \(\zeta\)만의 함수다. 정착시간은 극점의 실수부 \(\zeta\omega_n\)에 반비례한다. 그림 1-2에서 본 그대로다.
SIMULATOR

2차계 계단 응답 — ζ와 ωn

분류—
극점—
오버슈트 Mp—
피크 시간 tp—
정착시간 (2 %, 수치)—
상승시간 (10→90 %)—
해볼 것: ① ζ만 바꾸면 오버슈트가 바뀌고, ωn만 바꾸면 모양은 그대로인 채 시간축만 늘었다 줄었다 한다. ② ζ = 1 근처가 오버슈트 없이 가장 빠른 응답(임계감쇠)이다. 실제 설계에서는 약간의 오버슈트를 허용하고 ζ ≈ 0.6~0.8을 고르는 경우가 많다. ③ ζ = 0이면 극점이 허수축 위에 놓여 영원히 진동한다. 곡선은 상미분방정식을 RK4로 수치 적분한 결과다.
RLC 회로로 번역하기 직렬 RLC 회로에 계단 전압을 걸었을 때 커패시터 전압의 전달함수는 \(V_C/V_{in} = \dfrac{1/LC}{s^2 + (R/L)s + 1/LC}\)다. 표준형과 비교하면 \(\omega_n = 1/\sqrt{LC}\), \(\zeta = \dfrac{R}{2}\sqrt{C/L}\). 예를 들어 \(L = 10\) mH, \(C = 1\) µF이면 \(\omega_n = 10^4\) rad/s (약 1.6 kHz)이고, 오버슈트 없이 가장 빠르게 충전하는 임계 저항은 \(R = 2\sqrt{L/C} = 200\ \Omega\)이다. 질량–스프링–댐퍼라면 \(\omega_n = \sqrt{k/m}\), \(\zeta = c/(2\sqrt{mk})\)다.

s-평면 위의 지형: 푸리에 변환과의 관계

\(|H(s)|\)를 s-평면 위의 높이로 그리면 극점에서 무한히 솟은 "텐트 기둥"이 있는 지형이 된다. 이 지형을 허수축 \(s = j\omega\)를 따라 잘라 낸 단면이 바로 주파수 응답 \(|H(j\omega)|\)이다. 즉 ROC가 허수축을 포함하는(안정한) 시스템에서는

$$H(j\omega) = H(s)\big|_{s=j\omega} = \int_0^\infty h(t)e^{-j\omega t}dt = \mathcal{F}\{h(t)\}$$
인과 신호에 대해 푸리에 변환은 라플라스 변환의 \(\sigma = 0\) 단면이다. 극점이 허수축에 가까울수록(\(\zeta\)가 작을수록) 단면이 기둥 가까이를 지나가 공진 봉우리가 높아진다.
3D

|H(s)| 지형과 jω 단면

극점 (ωn = 1)—
공진 봉우리 max|H(jω)|—
공진 주파수 ωr—
높이는 log₁₀|H(s)|(극점 근처는 잘라 냄), 영역은 σ ∈ [−2, 1], ω ∈ [−2, 2]. 드래그해서 돌려 보고, ζ를 줄이면 극점 기둥이 허수축(밝은 선)으로 다가오며 단면의 공진 봉우리가 솟는 것을 확인하자. ζ ≥ 1/√2 ≈ 0.707이면 봉우리가 사라진다.

핵심 정리

  1. \(F(s) = \int_0^\infty f(t)e^{-st}dt\), \(s = \sigma + j\omega\). \(e^{-\sigma t}\)가 증가를 눌러 주므로 지수 차수 함수는 모두 변환된다. 수렴하는 \(s\)의 영역이 ROC다.
  2. \(\mathcal{L}\{e^{at}\} = 1/(s-a)\) 하나에서 계단(\(a=0\)), sin·cos(\(a = j\omega\)), 감쇠 진동(s-이동)의 변환이 모두 나온다.
  3. 미분은 \(s\) 곱하기: \(\mathcal{L}\{f'\} = sF - f(0)\). 초기 조건이 자동으로 들어가 선형 ODE가 대수방정식이 된다. 적분은 \(1/s\), 합성곱은 곱셈.
  4. 역변환은 부분분수 + 가림법 \(A_k = [(s-p_k)F]_{s=p_k}\). 응답은 극점마다 하나씩인 모드 \(e^{p_k t}\)의 합이다.
  5. 극점의 실수부는 감쇠율, 허수부는 진동 주파수. 모든 극점이 왼쪽 반평면에 있어야 안정하다.
  6. 최종값 정리 \(\lim_{s\to0} sF(s)\)는 \(sF(s)\)의 극점이 모두 왼쪽 반평면에 있을 때만 유효하다.
  7. 2차계 \(\omega_n^2/(s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2)\): 오버슈트 \(e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}\)는 \(\zeta\)만의 함수, 정착시간 \(\approx 4/(\zeta\omega_n)\)는 극점 실수부에 반비례.
  8. 안정한 시스템에서 \(H(j\omega)\)는 푸리에 변환, 즉 \(|H(s)|\) 지형의 허수축 단면이다.

확인 퀴즈

1. \(\mathcal{L}\{e^{3t}\}\)와 그 수렴 영역은?

\(\int_0^\infty e^{-(s-3)t}dt = 1/(s-3)\)이며, \(e^{-(s-3)t}\)가 0으로 가려면 \(\mathrm{Re}(s) - 3 > 0\)이어야 한다.

2. \(y' + 2y = 0\), \(y(0) = 5\)일 때 \(Y(s)\)는?

\(sY - 5 + 2Y = 0 \Rightarrow Y = 5/(s+2)\), 따라서 \(y = 5e^{-2t}\). 초기 조건이 분자에 그대로 나타난다.

3. \(\mathcal{L}\{te^{-2t}\}\)는? (힌트: \(\mathcal{L}\{t\} = 1/s^2\)와 s-이동)

\(e^{at}f(t) \to F(s-a)\). \(a = -2\)이므로 \(1/s^2\)의 \(s\)를 \(s+2\)로 바꾼다. 네 번째 보기 \(e^{-2s}/s^2\)는 \(t\)-이동(2초 지연된 램프)이다.

4. 전달함수 극점이 \(-1 \pm 4j\)인 시스템의 임펄스 응답에 대한 설명으로 옳은 것은?

실수부 −1은 포락선 \(e^{-t}\)(시간상수 1 s), 허수부 ±4는 4 rad/s 진동을 뜻한다. 왼쪽 반평면이므로 안정하다.

5. \(F(s) = \dfrac{1}{s(s^2+4)}\)에 최종값 정리를 적용해 \(\lim_{t\to\infty} f(t) = 1/4\)이라고 결론 내렸다. 옳은 평가는?

부분분수로 \(f(t) = \tfrac14(1 - \cos 2t)\). 평균은 1/4이지만 영원히 진동하므로 극한이 없다. 최종값 정리는 \(sF(s)\)의 극점이 모두 왼쪽 반평면에 있을 때만 쓸 수 있다.

6. 2차계에서 \(\omega_n\)을 두 배로 하고 \(\zeta\)는 그대로 두면 계단 응답은?

\(M_p\)는 \(\zeta\)만의 함수다. \(t_p = \pi/(\omega_n\sqrt{1-\zeta^2})\), \(t_s \approx 4/(\zeta\omega_n)\)는 \(\omega_n\)에 반비례하므로 시간축만 절반으로 줄어든다. DC 이득 \(H(0) = 1\)이므로 최종값은 변하지 않는다.