동기 검파
수신기에서 반송파와 같은 주파수·위상의 신호를 만들어 곱합니다. RC 시정수 제약이 사라져 측파대가 DC 가까이 와도 복원됩니다. SSB 수신기의 BFO →
Chapter 03 · 기초 · 변조
반송파에 얼마나 높은 신호를 실을 수 있나
1 kHz 반송파에 1 kHz 음성을 실으면 어떻게 될까요. 반송파 주파수 f_c와 변조 신호 주파수 f_m의 비율에 따라 측파대 위치가 달라집니다. 이 위치가 복조에 어떤 영향을 주는지 살펴봅니다.
변조·복조 방식에 따른 상한
반송파가 1 kHz일 때 실을 수 있는 변조 신호의 상한은 변조·복조 방식에 따라 다릅니다.
| 방식 | 1 kHz 반송파에서 f_m 상한 | 제한하는 이유 |
|---|---|---|
| AM + 포락선 검파 | 약 100 Hz | 검파기 RC 시정수를 잡을 여유가 필요하다 |
| AM + 동기 검파 | 약 300~500 Hz | 측파대가 DC에 너무 가까워진다 |
| FM (편이 200 Hz) | 약 300 Hz | 카슨 대역폭이 반송파 아래로 내려간다 |
| FSK·AFSK (제로 크로싱 검출) | 1 kHz 가까이 | 진폭이 아니라 주기를 세므로 여유가 크다 |
| 이론적 한계 | 1 kHz 미만 | 하측파대가 0 Hz를 넘으면 되접힌다 |
실무에서 외우는 값은 10 : 1입니다. 반송파를 변조 신호 최고 주파수의 최소 10배로 잡습니다. 방송 AM은 1 MHz 반송파에 5 kHz 오디오를 실어 200 : 1, 방송 FM은 100 MHz에 15 kHz로 약 6600 : 1입니다. 1 kHz는 그 자체가 가청 대역 한가운데라 반송파로 쓰지 않고, 보통 변조 신호 쪽에 둡니다.
측파대는 어디에 생기나
반송파 f_c를 f_m으로 진폭변조하면 스펙트럼에 반송파와 두 개의 측파대가 나타납니다.
f_{\mathrm{USB}} = f_c + f_m, \qquad f_{\mathrm{LSB}} = f_c - f_m
여기서 f_m을 키우면 상측파대는 위로 올라가지만 하측파대는 0 Hz를 향해 내려옵니다. 반송파가 1 kHz일 때를 표로 보면 한계가 분명합니다.
| f_m | 하측파대 | 상측파대 | 상태 |
|---|---|---|---|
| 100 Hz | 900 Hz | 1100 Hz | 정상. 포락선이 뚜렷하다 |
| 400 Hz | 600 Hz | 1400 Hz | 동작하지만 검파가 거칠어진다 |
| 1000 Hz | 0 Hz | 2000 Hz | 하측파대가 DC로 내려앉는 한계점 |
| 1500 Hz | −500 Hz → 500 Hz로 접힘 | 2500 Hz | 스펙트럼 폴딩. 복원 불가 |
f_m \ge f_c가 되면 하측파대가 음의 주파수로 넘어가고, 실제 신호에는 음의 주파수가 없으므로 양의 쪽으로 되접혀 나타납니다. 접힌 성분은 원래 성분과 구분되지 않아 복조해도 원래 소리가 되살아나지 않습니다. 샘플링에서의 에일리어싱과 같은 현상이고, 조건의 모양도 나이퀴스트와 같습니다.
f_c \ge 2 f_m \quad (\text{절대 하한}), \qquad f_c \ge 10 f_m \quad (\text{실용 기준})
AM 변조 지수와 전력
진폭 변조된 신호는 반송파의 진폭을 음성에 따라 늘였다 줄였다 합니다. 변조 신호가 단일 톤이면 다음과 같이 쓰고, 삼각함수 곱셈 공식을 쓰면 반송파와 두 측파대의 합으로 풀립니다.
s(t) = A\,[1 + m\cos(2\pi f_m t)]\cos(2\pi f_c t) = A\cos(2\pi f_c t) + \frac{mA}{2}\cos 2\pi(f_c + f_m)t + \frac{mA}{2}\cos 2\pi(f_c - f_m)t
m은 변조 지수(변조도)로, 포락선이 반송파 진폭의 몇 배만큼 흔들리는지를 뜻합니다. 전력은 진폭의 제곱에 비례하므로 측파대 하나의 전력은 반송파의 m^2/4배입니다. m = 1로 꽉 채워 변조해도 정보가 담긴 두 측파대의 전력은 전체의 1/3뿐이고, 나머지 2/3는 정보 없는 반송파가 씁니다. SSB가 반송파와 한쪽 측파대를 없애는 이유입니다.
\frac{P_{\text{측파대}}}{P_{\text{전체}}} = \frac{m^2/2}{1 + m^2/2}
SIMULATOR
AM 파형·스펙트럼과 과변조
빠른 선택
측파대 전력 비율—
전체 전력 (반송파 대비)—
점유 대역폭—
포락선 검파—
반송파는 보기 쉽게 50 kHz로, 변조 신호는 kHz 단위로 두었습니다. m을 1 위로 올리면 포락선 1 + m\cos가 0 아래로 내려가는데, 실제 송신기 출력의 진폭은 음수가 될 수 없으므로 포락선이 0에서 접힙니다. 포락선 검파기는 이 접힌 모양을 그대로 꺼내므로 소리가 찌그러지고, 접힌 모서리 때문에 스펙트럼도 넓게 퍼집니다.
실용 기준이 10 : 1인 이유
검파기 RC의 두 조건
다이오드 포락선 검파기의 RC 시정수는 반송파 리플을 평활할 만큼 길면서, 음성의 포락선은 따라갈 만큼 짧아야 합니다.
\frac{1}{f_c} \ll RC \ll \frac{1}{f_m}
반송파 1 kHz, 음성 100 Hz라면 1 ms와 10 ms 사이를 써야 하는데, 이미 여유가 빠듯합니다. 두 주파수가 더 가까워지면 두 조건을 함께 만족하는 RC 값을 고르기 어렵습니다.
어긋나면 생기는 일
RC가 너무 짧으면 출력에 반송파 리플이 남아 잡음처럼 들립니다. 너무 길면 포락선이 빠르게 내려갈 때 검파기가 따라가지 못해 파형의 내리막이 직선으로 잘리는 대각선 클리핑이 생깁니다.
그래서 설계에서는 반송파를 변조 신호 최고 주파수의 최소 10배, 실제로는 수십~수백 배로 잡습니다.
FM에서의 대역폭 조건
FM의 점유 대역폭은 카슨의 법칙으로 어림합니다. \Delta f는 주파수 편이입니다.
BW \approx 2(\Delta f + f_m)
이 대역이 반송파를 중심으로 퍼지므로, 아래쪽 끝이 0 Hz 아래로 내려가지 않으려면 다음을 지켜야 합니다.
\Delta f + f_m < f_c
반송파 1 kHz에 편이 200 Hz를 쓰면 f_m은 약 300 Hz가 상한이고, 이때 점유 대역은 0.5~1.5 kHz입니다. AM보다 대역을 더 쓰는 방식이라 낮은 반송파에서는 조건이 더 불리합니다.
방송 FM은 반송파가 100 MHz 근처라 이 조건이 문제되지 않습니다. 오디오 15 kHz에 편이 75 kHz를 써도 대역은 180 kHz로, 반송파에 비하면 매우 좁습니다.
FM 스펙트럼: 베셀 함수와 카슨 대역
단일 톤으로 주파수 변조한 신호는 반송파를 중심으로 f_m 간격의 측파대를 무한히 만듭니다. 각 선의 진폭은 변조 지수 \beta = \Delta f / f_m을 인수로 하는 제1종 베셀 함수 J_n(\beta)로 정해집니다.
s(t) = A\cos\!\big(2\pi f_c t + \beta\sin 2\pi f_m t\big) = A\sum_{n=-\infty}^{\infty} J_n(\beta)\cos 2\pi(f_c + n f_m)t
\beta가 작으면(\beta \ll 1) 첫 측파대 한 쌍만 의미가 있어 AM과 같은 폭을 쓰는 협대역 FM이 됩니다. \beta가 커지면 의미 있는 측파대가 대략 \beta + 1쌍까지 늘어나고, 카슨의 법칙은 이 범위를 대역폭으로 어림한 것입니다. 이 범위 안에 전체 전력의 약 98%가 들어갑니다. 반송파 성분의 진폭 J_0(\beta)는 \beta = 2.405에서 0이 되는데, 이 성질로 스펙트럼 분석기에서 편이를 교정합니다.
SIMULATOR
FM 측파대와 카슨 대역폭
예시
변조 지수 β—
반송파 진폭 J0(β)—
카슨 대역폭—
카슨 대역 안 전력—
“반송파 0점”을 누르면 β = 2.405가 되어 가운데 반송파 선이 사라집니다. 그래도 신호의 전체 전력은 그대로이고, 사라진 전력은 측파대로 옮겨 갔을 뿐입니다. FM은 진폭이 일정하므로 β를 바꿔도 모든 선의 제곱합은 항상 1입니다.
검파 방식을 바꾸면 1 : 1까지
위의 10 : 1은 포락선 검파를 전제로 한 값입니다. 진폭이 아니라 위상·주기를 보는 방식이라면 두 주파수의 비율을 더 낮출 수 있습니다.
AFSK
Bell 202 방식은 1200 Hz와 2200 Hz 두 톤으로 1200 bps를 보냅니다. 톤 주파수와 데이터 속도가 거의 1 : 1인데, 진폭이 아니라 제로 크로싱을 세기 때문에 성립합니다. 아마추어 패킷 통신이 이 방식입니다.
좁은 대역 디지털
변조 대역폭을 아주 좁게 쓰는 방식도 있습니다. FT8은 8개 톤을 50 Hz 폭 안에 넣어 아주 느리게 보내는 대신 약한 신호를 복호합니다.
측파대가 접히는 지점 보기
반송파와 변조 주파수를 움직이면 측파대의 위치가 바뀝니다. 하측파대가 0 Hz를 지나면 접힌 성분이 붉게 표시됩니다.
단일 톤으로 변조했을 때의 이상적인 선 스펙트럼입니다. 실제 음성은 여러 주파수가 섞여 폭을 차지합니다.
파랑: 반송파 · 주황: 측파대 · 빨강: 0 Hz를 넘어 되접힌 성분.
용어
측파대(sideband): 변조할 때 반송파 위·아래 f_c \pm f_m에 생기는 정보 성분.
스펙트럼 폴딩(folding): 성분이 0 Hz를 넘어 음의 주파수로 가면 양의 쪽으로 되접혀 나타나는 현상. 접힌 뒤에는 원래 성분과 구분할 수 없다.
카슨의 법칙(Carson's rule): FM 점유 대역폭을 2(\Delta f + f_m)으로 어림하는 경험식.
대각선 클리핑(diagonal clipping): 포락선 검파기의 RC가 너무 길어 포락선의 내리막을 따라가지 못해 생기는 왜곡.
확인 퀴즈
7.0 MHz 반송파를 2 kHz 톤으로 AM 변조했습니다. 측파대는 어디에 생기나요?
f_c \pm f_m이므로 7.000 ± 0.002 MHz입니다. 점유 대역폭은 4 kHz입니다.
변조 지수 m = 1인 AM 신호에서 두 측파대가 차지하는 전력은 전체의 얼마일까요?
(m^2/2)/(1 + m^2/2) = 0.5/1.5 = 1/3입니다. 나머지 2/3는 정보를 싣지 않는 반송파 전력입니다.
AM에서 m > 1로 과변조하면 포락선 검파 출력은?
송신 진폭은 음수가 될 수 없으므로 포락선의 아래쪽이 접힙니다. 이 왜곡 성분이 측파대 바깥까지 퍼져 이웃 채널에 간섭을 줍니다.
방송 FM은 최대 편이 75 kHz, 최고 오디오 15 kHz를 씁니다. 카슨의 법칙으로 어림한 대역폭은?
2(\Delta f + f_m) = 2(75 + 15) = 180\ \mathrm{kHz}입니다. 실제 방송 채널 간격은 이보다 넓게 200 kHz 안팎으로 잡습니다.
FM 변조 지수 β를 키우는 동안 반송파 주파수 성분이 완전히 사라지는 지점이 있습니다. 이때 신호의 전체 전력은?
FM 신호는 진폭이 일정하므로 전력도 일정합니다. 베셀 함수의 성질 \sum_n J_n^2(\beta) = 1이 이를 보여 줍니다. 첫 0점은 \beta \approx 2.405입니다.